Question

若存在常數k和b，使得函數f（x）和g（x）在它們的公共定義域上的任意實數x分別滿足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的極值；
（II）函數f（x）和g（x）是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-2clnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-

2c

x

=（2x²-2c）/x=

2(x- e )(x+ e )

x

令F′（X）=0，得x=

e

，
當0＜x＜

e

時，F′（X）＜0，X＞

e

時，F′（x）＞0
故當x=

e

時，F（x）取到最小值，最小值是0
（2）由（1）可知，函數f（x）和g（x）的圖象在x=

e

處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-

e

，即y=kx-k

e

+e
由f（x）≥kx-k

e

+e（x?R），可得x^2-kx-k

e

+e，
由f（x）≥kx-k

e

+e（x?R），可得x²-kx+k

e

-e≥0當x?R恒成立，
則△=k2-4k

e

+4e=（k-2

c

）^2≤0，只有k=2

e

，此時直線方程為：y=2

e

x-e，
下面證明g（x）≤2

e

x-e^{exx＞0時恒成立
令G（x）=2}

e

x-e-g（x）=2

e

x-e-2elnx，
G′（X）=2

c

-

2c

x

=（2

c

x-2c）/x=2

c

（x-

e

）/x，
當x=

e

時，G′（X）=0，當0＜x＜

e

時G′（X）＞0，
則當x=

e

時，G（x）取到最小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2

e

x-e-g（x）≥0，則g（x）≤2

e

x-e當x＞0時恒成立．
∴函數f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2

e

x-e