Question

10．在平面直角坐標系中，直線l與拋物線y²=2x相交于A，B兩點，實數(shù)t為正數(shù)，若命題“如果直線l過點T（t，0），那么$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3”的逆否命題為真命題，則t=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 設出A，B兩點的坐標根據向量的點乘運算求證即可得到命題“如果直線l過點T（t，0），那么$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3”的逆否命題為真命題．

解答 解：設過點T（t，0）的直線l交拋物線y²=2x于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當直線l的鈄率不存在時，直線l的方程為x=t，
此時，直線l與拋物線相交于點A（t，$\sqrt{2t}$）、B（t，-$\sqrt{2t}$）．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=t²-2t=3，
∵t＞0，
∴t=3
當直線l的鈄率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0，
與拋物線方程聯(lián)立ky²-2y-6k=0⇒y₁y₂=-6，
又∵x₁=$\frac{1}{2}$y₁²，x₂=$\frac{1}{2}$y₂²，
∴x₁x₂=9，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=3，
綜上所述，t=3，命題“如果直線l過點T（3，0），那么$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3”的逆否命題為真命題，
故選：B

點評 本題考查了真假命題的判斷，拋物線的簡單性質，向量數(shù)量積，是拋物線與平面向量的綜合應用，難度中檔．