Question

已知A，B，E三點在平面α內(nèi)，點C，D在α外，并且AC⊥α，DE⊥α，BD⊥AB．若AB=3，AC=BD=4，CD=5，則BD與平面α所成的角等于

30°

．

Answer 1

分析：先確定∠DBE是直線BD與平面α所成的角，然后過點D作DF⊥AC于F，連接AD，AE，可以證明出四邊形AEDF為矩形，從而DE=AF．利用勾股定理計算出AD=5=CD，從而得到DF是△ACD的中線，進而在Rt△BDE中，利用三角函數(shù)的定義，可得結(jié)論．

解答：解：∵DE⊥α，∴BE即為BD在平面α內(nèi)的射影，∴∠DBE是直線BD與平面α所成的角
過點D作DF⊥AC于F，連接AD，AE
∵AC⊥α，DE⊥α，
∴AC∥DE，且∠AED=∠FAE=∠DFA=90°
∴四邊形AEDF為矩形
∴DE=AF
∵BD⊥AB，∴Rt△ABD中，AD=

AB2+BD2

=5
∵△ACD中，CD=AD=5，∴DF是中線，即AF=CF=

1

2

AC=2
∴Rt△BDE中，BD=4，DE=2
∴sin∠DBE=

DE

DB

=

1

2

∴∠DBE=30°，即直線BD與平面α所成的角等于30°
故答案為：30°

點評：本題考查直線與一個平面所成角，考查直線與平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所成角的定義和直角三角形中求三角函數(shù)值等知識點，屬于中檔題．