Question

本小題滿(mǎn)分14分）如圖，四棱錐E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F為CE上的點(diǎn)，

且BF平面ACE．

（1）求證：AEBE；

（2）求三棱錐D—AEC的體積；

（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）ABCD是矩形，BCAB，平面EAB平面ABCD，

平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD，BC平面EAB，

EA平面EAB，BCEA ，BF平面ACE，EA平面ACE，BF EA， BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC，EA平面EBC ，BE平面EBC， EA BE。 

（2） EA BE，AB=

 ，設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連結(jié)EO，

∵AE=EB=2，EOAB，平面EAB平面ABCD，EO平面ABCD，即EO為三棱錐E—ADC的高，且EO=，。

（3）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E、OB所在直線(xiàn)為，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，由（2）知是平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)平面ECD的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)二面角A—CD—E的平面角的大小為，由圖得， 

所以二面角A—CD—E的余弦值為。

 

【解析】略