Question

火箭發(fā)射后t s的速度為v(t),假定0≤t≤10,對(duì)函數(shù)v(t)按f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(x_n)Δx式所作的和具有怎樣的實(shí)際意義?

Answer 1

思路:本題考查“近似代替”“無(wú)限細(xì)分”和“無(wú)窮積累”的數(shù)學(xué)思想方法.

探究:將區(qū)間［0,10］等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δt,在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為t₁,t₂,…,t_i,…,t_n,雖然火箭的速度不是常數(shù),但在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)其變化很小,所以可以用v(t₁)來(lái)代替火箭在第一個(gè)小區(qū)間上的速度,這樣v(t₁)Δt≈火箭在第一個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)行的路程;同理,v(t₂)Δt≈火箭在第二個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)行的路程,從而S_n=v(t₁)Δt+v(t₂)Δt+…+v(t_n)Δt≈火箭在10 s內(nèi)運(yùn)行的總路程.

這就是函數(shù)v(t)在時(shí)間區(qū)間［0,10］上按f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(x_n)Δx所作的和的實(shí)際背景.

當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0,S_n就是無(wú)限趨近于火箭在10 s內(nèi)所運(yùn)行的總路程.