Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象與y軸交于點（0，2），并且在x=1處切線的方向向量為

n

=(1，3)．
（1）若x=

2

3

是函數f（x）的極值點，求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[

3

2

，2]單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：C=2，f′（1）=3+2a+b=3并且f′（

2

3

）=

4

3

+

4a

3

+b=0，所以可得：a=2，b=-4，c=2．
（2）由題意可得：2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，根據函數f（x）在區(qū)間[

3

2

，2]單調遞增，可得b≤

3x2

x-1

在[

3

2

，2]上恒成立，再利用函數求最值得方法求出g（x）=

3x2

x-1

的最小值，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
因為函數的圖象與y軸交于點（0，2），
所以C=2…①
又因為在x=1處切線的方向向量為

n

=(1，3)，
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因為x=

2

3

是函數f（x）的極值點，
所以f′（

2

3

）=

4

3

+

4a

3

+b=0…③
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x³+a=2x²-4x+2．
（2）由題意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，
因為函數f（x）在區(qū)間[

3

2

，2]單調遞增，
所以f′（x）=3x²-bx+b≥0在[

3

2

，2]上恒成立，
即b≤

3x2

x-1

在[

3

2

，2]上恒成立，
令g（x）=

3x2

x-1

，x∈[

3

2

，2]，
所以g（x）=3×

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=3×[(x-1)+

1

x-1

+2]≥12，
當且僅當x-1=

1

x-1

，即x=2時，g（x）有最小值為12．
所以b≤g（x）_min=12，
所以實數b的取值范圍（-∞，12]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握導數的幾何意義，以及熟練掌握恒成立問題與求最值問題之間的相互轉化．