Question

【題目】已知點是拋物線：上的一點，其焦點為點，且拋物線在點處的切線交圓：于不同的兩點，.

（1）若點，求的值；

（2）設(shè)點為弦的中點，焦點關(guān)于圓心的對稱點為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出過點的拋物線的切線，切線與圓相交，根據(jù)弦心距、半徑、弦長的關(guān)系求解即可；

（2）設(shè)點，聯(lián)立切線與圓的方程消元可得一元二次方程，由韋達定理求出中點的坐標(biāo)，由兩點間距離公式表示出，令換元，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出取值范圍.

設(shè)點，其中.

因為，所以切線的斜率為，于是切線：.

（1）因為，于是切線：.

故圓心到切線的距離為.

于是.

（2）聯(lián)立得.

設(shè)，，.則，.

解得

又，于是.

于是，.

又的焦點，于是.

故.

令，則.于是.

因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

所以的取值范圍為.