Question

設(shè)函數(shù)。

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）斜率為的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，求證：。

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）當(dāng)a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)a＜0時，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

【解析】

試題分析：（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．

∵當(dāng)時，f'（x）＜0；當(dāng)時，

f'（x）＞0，

∴當(dāng)時，．                 4分

（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．

①當(dāng)a≥0時，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當(dāng)a＜0時，

令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；

令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．

綜上，當(dāng)a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)a＜0時，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．    8分

（3）．

要證，即證，等價于證，令，

則只要證，由t＞1知lnt＞0，

故等價于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．

①設(shè)g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，

故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴當(dāng)t＞1時，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．

②設(shè)h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴當(dāng)t＞1時，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．

由①②知（*）成立，得證．                 12分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)本身是個解決問題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實際問題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請注意歸納常規(guī)方法和常見注意點(diǎn)