Question

【題目】在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛（Alberobello），這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝��?/span>Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄（如圖1）.現(xiàn)測量一個屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長為12m，母線SA長為18m（如圖2）.C，D是母線SA的兩個三等分點（點D靠近點A），E是母線SB的中點.

（1）從點A到點C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度；

（2）現(xiàn)對屋頂進(jìn)行加固，在底面直徑AB上某一點P，向點D和點E分別引直線型鋼管PD和PE.試確定點P的位置，使得鋼管總長度最小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，的最小值為

【解析】

（1）將側(cè)面沿母線展開，點對于與，連接，則為最小長度，在中由余弦定理計算可得.

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求出關(guān)于軸的對稱點，利用兩點間的距離公式求出距離最小值，利用點斜式求出直線方程，即可求出的坐標(biāo).

解：（1）將側(cè)面沿母線展開，點對于與，連接，則為最小長度；

因為，，則，設(shè)

，，

在中由余弦定理可得

即

即燈光帶的最小長度為（）

（2）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因為，

所以，，，因為是的三等分點（靠近）

所以，又是的中點，所以

則關(guān)于軸對稱的點為

連接與軸交點，則的最小值為

直線的方程為

令則

即時，的最小值為