Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線與直線有且只有一個公共點(diǎn)，求證：．（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于的等式，最后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍，從而得證．

（1）由題意，函數(shù)，則，

設(shè)，則，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）設(shè)函數(shù)，

由曲線與直線有且只有一個公共點(diǎn)，

等價于函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，

又由，

設(shè)，則，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

因為，所以存在，使，

所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，

而，

所以要使函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則，

所以，即，

消元得．

令，則，

當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，

又由，所以存在，使得，

即若曲線與直線有且只有一個公共點(diǎn)，則．