Question

已，且函數f（x）在處取得極值．
（ I）求f（x）的解析式與單調區(qū)間；
（ II）是否存在實數m，對任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=3f（x₁）成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I），得a=-1，
且，b=0，則
；
；
∴；
遞減區(qū)間為

（ II）由（1）得

x	-1	（-1，）		（，）		（，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）		增		減		增

所以當x₁∈[1，2]時，≤f（x₁）≤，≤3f（x₁）≤…（10分）
假設對任意的x₁∈[-1，2]時都存在x₀∈[0，1]時使得g（x₀）=3f（x₁）成立，
設g（x₀）的最大值為T，最小值為t，則要求，
又g'（x）=x²+m²，所以當x₀∈[0，1]時時，
且，．
綜上，；
分析：（I）已知f（x）的解析式，對f（x）進行求導，根據函數f（x）在處取得極值可得f′（）=0，f（）=，可以得到f（x）的解析式，然后利用導數求f（x）的單調區(qū)間；
（II）假設存在，則由（I）已知f（x）的單調區(qū)間，當x₁∈[-1，2]，可以求出f（x）的值域，進而求出3f（x）的范圍，對于g（x）進行求導發(fā)現其為增函數，從而求出g（x）在[0，1]上的最值，然后進行判斷；
點評：此題是關于導數應用的綜合題，考查的知識點比較全面，會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值，是一道難題；