Question

如圖，這是我國(guó)一古代高大建筑，現(xiàn)有一個(gè)測(cè)角器和一個(gè)可測(cè)量長(zhǎng)度的皮尺(測(cè)量長(zhǎng)度不超過5米)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，并給出計(jì)算該建筑物的高度的公式，希望你的方案中被測(cè)量的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)盡量少．

Answer 1

答案：
解析：

探究過程：這是一遠(yuǎn)距離測(cè)量的實(shí)際問題，需要設(shè)計(jì)一種能轉(zhuǎn)化計(jì)算的可行方案．為此可利用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，嘗試將要解決的問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題．由于不能實(shí)地測(cè)量，故可考慮以下兩種設(shè)計(jì)方案來測(cè)量： 　　方案一：如圖所示，設(shè)建筑物為AB，人站在點(diǎn)P處(P與A在同一水平線上)，平視該建筑物AB，測(cè)得測(cè)角器的最高點(diǎn)M與建筑物的點(diǎn)C在同一水平線上，并測(cè)量出AC的長(zhǎng)(即約為測(cè)角器的高度)．在點(diǎn)P處看建筑的最高點(diǎn)B，測(cè)出仰角α；向前走a米到達(dá)Q點(diǎn)，又測(cè)得看B點(diǎn)的仰角為β． 　　在△BM中，已知兩角和一邊，利用正弦定理可求出B＝． 　　設(shè)建筑物AB＝h，BC＝x，在Rt△BC中， 　　由三角函數(shù)可得x＝B·sinβ＝．于是h＝x＋AC可求． 　　方案二：如圖所示，設(shè)建筑物為AB，在與建筑物底部A所在平面上取共線的三點(diǎn)P、Q、R，且使PQ＝QR＝m．將測(cè)角器分別放在點(diǎn)P、Q、R處可測(cè)得觀察建筑物頂部B的仰角分別是α，β，γ． 　　設(shè)BC＝x，則該建筑物高h(yuǎn)＝x＋AC． 　　在Rt△BCD、Rt△BEC、Rt△BFC中， 　　DC＝x·cotα，CE＝x·cotβ，CF＝x·cotγ． 　　在△ECF和△DCF中，由余弦定理得 　　cos∠CFE＝， 　　即． 　　解得x＝． 　　所以建筑物的高是h＝x＋AC． 　　探究結(jié)論：無論哪種設(shè)計(jì)方案，都至少需要測(cè)4個(gè)數(shù)據(jù)，如果不受測(cè)量工具和所選初始點(diǎn)的限制，測(cè)量方案還會(huì)更多．如也可以在與初始點(diǎn)P同一垂線上方選擇一個(gè)測(cè)量點(diǎn)等，不論采取什么方案，都是把實(shí)際測(cè)量問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．