Question

8．已知函數f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$（a＞2），當x∈[0，ln3]時，函數f（x）的最大值與最小值的差為$\frac{3}{2}$，則實數a=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用函數f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$（a＞2）．去掉絕對值，討論2＜a＜3和a＞3根據函數的單調性確定f（x）的最值，再由條件解方程，可求參數的值，從而可得結論．

解答 解：由a＞2，f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a+\frac{{a}^{2}}{2}，{e}^{x}≥a}\\{a-{e}^{x}+\frac{{a}^{2}}{2}，{e}^{x}＜a}\end{array}\right.$，
∵x∈[0，ln3]，∴e^x∈[1，3]，
∴e^x=a時，函數取得最小值為$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵x=0時，a-e^x+$\frac{{a}^{2}}{2}$=-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$；
x=ln3時，e^x-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$=3-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
當2＜a＜3時，函數f（x）的最大值M=-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵函數f（x）的最大值M與最小值m的差為$\frac{3}{2}$，
∴2＜a＜3時，-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{5}{2}$，
當a＞3時，lna＞ln3，此時f（x）在[0，ln3]內單調遞減，
所以函數在f（0）處取最大值，在f（ln3）處取最小值，
即有-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$-（3-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{11}{4}$，不符合a大于3，所以舍去．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查利用函數的單調性，考查函數最值的確定，其中確定函數f（x）的最大值M與最小值m是關鍵．