Question

2．已知函數(shù)f（x）=9^x-m3^x+m+1，x∈（0，+∞）的圖象都在x軸的上方，則m的取值范圍是m＜2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 本題通過換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后結(jié)合二次函數(shù)的特點進(jìn)行分類解題．即△=（-m）²-4（m+1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{\frac{m}{2}＜1}\\{1-m+1+m＞0}\end{array}\right.$，都滿足題意．

解答 解：令t=3^x，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（t）=t²-mt+m+1對t∈（1，+∞）的圖象恒在x軸的上方
即△=（-m）²-4（m+1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{\frac{m}{2}＜1}\\{1-m+1+m＞0}\end{array}\right.$，
解得m＜2+2$\sqrt{2}$．
故答案為m＜2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，還有通過換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．