Question

【題目】某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路， 以所在的直線分別為軸，軸， 建立平面直角坐標(biāo)系， 如圖所示， 山區(qū)邊界曲線為，設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，公路的長度最短?求出最短長度；

（2）當(dāng)公路的長度最短時(shí)，設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點(diǎn)，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開鑿的隧道的長度.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.

【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結(jié)果；

（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.

（1）由題可知，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又，

則直線的方程為，

由此得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為：，

則，故，

設(shè)，則.

令，解得=10.

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，

所以， 此時(shí).

故當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米.

（2） 在中，，,

所以，

所以，

根據(jù)正弦定理

,

，

，

，

又，

所以.

在中，，，

由勾股定理可得，

即，

解得，（千米）.