Question

12．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點(diǎn)$P（\sqrt{2}，2）$在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓上的焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦AC，BD，求|AC|+|BD|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點(diǎn)$P（\sqrt{2}，2）$在橢圓上，列出方程組得a²=8，b²=4．由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線AC，BD中一條直線斜率不存在時(shí)，|AC|+|BD|=$6\sqrt{2}$．當(dāng)直線AC，BD斜率均存在時(shí)，設(shè)直線AC的方程為：y=kx+2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，得（k²+2）x²+4kx-4=0，由韋達(dá)定理得|AC|=$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}$，用$-\frac{1}{k}$代換上式中的k可得$|{BD}|=\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$，由此能求出|AC|+|BD|的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)?e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以a²=2b²．
又$P（\sqrt{2}，2）$在橢圓上，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$．
聯(lián)立上述方程，解得a²=8，b²=4．
所以橢圓方程為$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$．
（2）當(dāng)直線AC，BD中一條直線斜率不存在時(shí)，|AC|+|BD|=$6\sqrt{2}$．
當(dāng)直線AC，BD斜率均存在時(shí)，
不妨設(shè)直線AC的斜率為k，顯然k≠0，則l_AC：y=kx+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，得（k²+2）x²+4kx-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-4}{{{k^2}+2}}$，
$|{AC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}$，
由于直線BD的斜率為$-\frac{1}{k}$，用$-\frac{1}{k}$代換上式中的k可得$|{BD}|=\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$
于是|AC|+|BD|=$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}+$$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$=$\frac{{12\sqrt{2}{{（{{k^2}+1}）}^2}}}{{（{{k^2}+2}）（{2{k^2}+1}）}}$．
令t=k²+1＞1，則|AC|+|BD|=$\frac{{12\sqrt{2}{t^2}}}{{（2t-1）（{t+1}）}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}$，
因?yàn)?2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}$=$-{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$$∈（{2，\frac{9}{4}}]$，
所以|AC|+|BD|=$\frac{{12\sqrt{2}}}{{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}$$∈[\frac{{16\sqrt{2}}}{3}，6\sqrt{2}）$．
綜上所述，|AC|+|BD|的取值范圍為$[{\frac{{16\sqrt{2}}}{3}，6\sqrt{2}}]$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程、兩線段和的取值范圍、橢圓性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．