Question

已知函數f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數）．
（1）若a=1，作函數f（x）的圖象；
（2）設f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）對于含有絕對值的函數圖象，用分類討論的方法；
（2）對于二次函數在某個區(qū)間上的最值問題，考慮其對稱軸與區(qū)間的相對位置，進行討論．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，x＜0 x2-x+1，x≥0

．作圖（如圖所示）
（2）當x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，則f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1，
f（x）圖象的對稱軸是直線x=

1

2a

．
當a＜0時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3．
當0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，
f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數，g（a）=f（1）=3a-2．
當1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時，g（a）=f（

1

2a

）=2a-

1

4a

-1．
當

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3．
綜上可得，g(a)=

6a-3，a＜ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

．

點評：含有參數的二次函數在某區(qū)間上的最值問題，通常有二種情形：1、動對稱軸；2、對區(qū)間的．本題屬于第一種情形，解決的辦法是分類討論．