Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a． (1) 求f(x)的極值 (2) 當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)?

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：(x)=3x－2x－1．若(x)=0，則x=，1． 　　當(dāng)x變化時(shí)，(x)的變化情況如下表： 　　所以f(x)的極大值是f．極小值是f(1)=a－1．

(2)

函數(shù)f(x)=x3－x2－x＋a=(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)＞0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有f(x)＜0，所以曲線y=f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)． 　　結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知： 　　當(dāng)f(x)的極大值＋a＜0，即a∈時(shí)，它的極小值也小于0，因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(1，＋∞)上 　　當(dāng)f(x)的極小值a－1＞0．即a∈(1，＋∞)時(shí)，它的極大值也大于0，因此直線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上． 　　所以當(dāng)a∈∪(1，＋∞)時(shí)，曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)． 　　點(diǎn)評：本題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分析問題和解決問題的能力．