Question

9．若實數(shù)x，y滿足2x-3≤ln（x+y+1）+ln（x-y-2），則xy=-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和基本不等式得到2x-3≤2ln（2x-1）-2ln2，t=2x-1，再構(gòu)造函數(shù)f（t）=t-2-2lnt+2ln2，利用到求出函數(shù)的最值，即可求出x，y的值

解答 解：2x-3≤ln（x+y+1）+ln（x-y-2）=ln（x+y+1）（x-y-2）≤ln$\frac{（2x-1）^{2}}{4}$=2ln（2x-1）-2ln2，當且僅當x+y+1=x-y-2時取等號，即y=-$\frac{3}{2}$，
設(shè)t=2x-1，
則t-2≤2lnt-2ln2，
令f（t）=t-2-2lnt+2ln2，
∴f′（t）=1-$\frac{2}{t}$=$\frac{t-2}{t}$，
當f′（t）＞0時，解得t＞2，函數(shù)f（t）遞增，
當f′（t）＜0時，解得0＜t＜2，函數(shù)f（t）遞減，
∴f（t）_min=f（2）=0，
∴t=2，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴xy=-$\frac{9}{4}$，
故答案為：-$\frac{9}{4}$

點評 本題考查了基本不等式和導數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，考查了學生的分析解決問題的能力，屬于中檔題