Question

若橢圓C₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）和橢圓C₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞b₂＞0）的焦點相同且a₁＞a₂．給出如下四個結論：
①橢圓C₁和橢圓C₂一定沒有公共點；           
②

a1

a2

＞

b1

b2

；
③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²；                      
④a₁-a₂＜b₁-b₂．
其中，所有正確結論的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：先由a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，從而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，下面從兩個方面來看：一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，從而①成立；②不成立；另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²⇒（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）⇒a₁-b₁＜a₂-b₂，從而④成立；從而得出正確答案．

解答：解：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，從而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，
一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，從而①成立；
若在a₁²-a₂²=b₁²-b₂²中，a₁=2，a₂=

2

，b₁=

3

，b₂=1，

a1

a2

=

2

2

=

2

，

b1

b2

=

3

1

=

3

，有：

a1

a2

＜

b1

b2

故②不成立；
另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²⇒（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）
由于a₁+b₁＞a₂+b₂
∴a₁-b₁＜a₂-b₂，
從而④成立；
∴所有正確結論的序號是 ①③④．
故答案為：①③④．

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、橢圓的標準方程、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．