Question

已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=1+3i-z，
（1）求z并求其在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標；
（2）求

(1+i)2(3+4i)2

2z

的共軛復(fù)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則|z|=

x2+y2

．代入已知，化簡計算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念列出關(guān)于x，y的方程組，并解出x，y，可得z．
（2）將（1）求得的z代入，化簡計算后，根據(jù)共軛復(fù)數(shù) 的概念求解．

解答：解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則由已知，

x2+y2

=1+3i-（x+yi）=（1-x）+（3-y）i．

x2+y2 =1-x 0=3-y

∴

x=-4 y=3

，∴z=-4+3i．
其在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為（-4，3）．
（2）由（1）z=-4+3i，
∴

(1+i)2(3+4i)2

2z

=

2i×(9+24i-16)

2(-4+3i)

=

24+7i

4-3i

=

(24+7i)(4+3i)

(4-3i)(4+3i)

=

75+100i

25

=3+4i
 共軛復(fù)數(shù)為3-4i．

點評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)求解． 除法的運算中，關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，實現(xiàn)分母實數(shù)化．