Question

17．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)?x∈R，總有g(shù)′（x）＞2x，則g（x）＜x²+4的解集為（-∞，-1）．

Answer 1

分析 求出g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，5）對(duì)稱，令h（x）=g（x）-x²-4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又g（x）=f（x+1）+5，
故g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，5）對(duì)稱，
令h（x）=g（x）-x²-4，
∴h′（x）=g′（x）-2x，
∵對(duì)?x∈R，g′（x）＞2x，
∴h（x）在R上是增函數(shù)，
又h（-1）=g（-1）-（-1）²-4=0，
∴g（x）＜x²+4的解集是（-∞，-1），
故答案為：（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解不等式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查對(duì)稱性，是一道中檔題．