Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²cos

2nπ

3

（n∈N^*），其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_3n-2+a_3n-1及S_3n的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=

S3n

n•2n-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意和誘導(dǎo)公式分別求出a_3n-2、a_3n-1和a_3n，再求出一個(gè)周期的和：a_3n-2+a_3n-1+a_3n的值，利用分組求和法求出S_3n的表達(dá)式；
（2）由（1）和題意求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）由題意得，a_n=n²cos

2nπ

3

（n∈N^*），
所以a_3n-2=(3n-2)2cos(

6n-4

3

π)=(3n-2)2cos(2nπ-

4π

3

)=-

(3n-2)2

2

，
a_3n-1=(3n-1)2cos(

6n-2

3

π)=(3n-1)2cos(2nπ-

2π

3

)=-

(3n-1)2

2

a_3n=(3n)2cos(

6n

3

π)=(3n)2cos(2nπ)=9n²，
則a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-

(3n-2)2

2

-

(3n-1)2

2

+9n2=9n-

5

2

，
所以S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=（9×1-

5

2

）+（9×2-

5

2

）+…+（9×n-

5

2

）
=9（1+2+…+n）-

5n

2

=9×

n(1+n)

2

-

5n

2

=

9

2

n2+2n，
（2）由（1）得，bn=

S3n

n•2n-1

=

9 2 n2+2n

n•2n-1

=

9n+4

2n

，
則T_n=

13

2

+

22

22

+

31

23

+…+

9n+4

2n

   ①，

1

2

T_n=

13

22

+

22

23

+

31

24

+…+

9n+4

2n+1

  ②，
①-②得，

1

2

T_n=

13

2

+

9

22

+

9

23

+

9

24

+…+

9

2n

-

9n+4

2n+1

=

4

2

+

9 2 [1- 1 2n ]

1- 1 2

-

9n+4

2n+1

=11-

18

2n+1

-

9n+4

2n+1

=11-

9n+22

2n+1

，
所以T_n=22-

9n+22

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法：錯(cuò)位相減法、分組求和法的合理運(yùn)用，以及余弦函數(shù)周期性的應(yīng)用．