Question

【題目】設(shè)集合，若是的子集，把中的所有數(shù)的和稱為的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若的容量為奇（偶）數(shù)，則稱為的奇（偶）子集，命題①：的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；命題②：當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等，則下列說法正確的是（ ）

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)為的奇子集，構(gòu)造集合，得到奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，①正確；

計(jì)算奇子集容量之和是，等于偶子集的容量之和，得到②正確，判斷得到答案.

設(shè)為的奇子集，令，則是偶子集

是奇子集到偶子集的一一對(duì)應(yīng)，且每個(gè)偶子集，均恰有一個(gè)奇子集，

與之對(duì)應(yīng)，故的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，所以①正確；

對(duì)任一，含的子集共有個(gè)，用上面的對(duì)應(yīng)方法可知，在時(shí)，這個(gè)子集中有一半是奇子集，在時(shí)，由于，將上邊的1換成3，同樣可得其中有一半是奇子集，于是計(jì)算奇子集容量之和是，根據(jù)上面所說，這也是偶子集的容量之和，兩者相等，所以當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等，即命題②正確，

故應(yīng)選.