Question

【題目】在銳角△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對的邊，且 a=2csinA．
（1）確定∠C的大小；
（2）若c= ，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 a=2csinA變形得： = ，

又正弦定理得： = ，

∴ = ，

∵sinA≠0，∴sinC= ，

∵△ABC是銳角三角形，

∴∠C=

（2）解：∵c= ，sinC= ，

∴由正弦定理得： = =2，

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π﹣C= ，即B= ﹣A，

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

=2[sinA+sin（ ﹣A）]+

=2（sinA+sin cosA﹣cos sinA）+

=3sinA+ cosA+

=2 （sinAcos +cosAsin ）+

=2 sin（A+ ）+ ，

∵△ABC是銳角三角形，

∴ ＜∠A＜ ，

∴ ＜sin（A+ ）≤1，

則△ABC周長的取值范圍是（3+ ，3 ]

【解析】（1）把已知的等式變形為： = ，并利用正弦定理化簡，根據(jù)sinA不為0，可得出sinC的值，由三角形為銳角三角形，得出C為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周長，將表示出a，b及c的值代入，由C的度數(shù)，求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，把B也代入表示出的周長，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值整理后，提取2 再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為銳角，得到A的范圍，進(jìn)而確定出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可確定出周長的范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正弦定理的定義，掌握正弦定理:即可以解答此題．