Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)，且時(shí)，證明不等式．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后求出斜率，點(diǎn)斜式即可求出答案；

（2）求導(dǎo)得，分和討論，借助導(dǎo)數(shù)即可求出單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得時(shí)，，對(duì)任意正整數(shù)，取，有，利用裂項(xiàng)相消法即可證明．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴，故切線的斜率為2，

∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為；

（2），

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，解得，，

①當(dāng)時(shí)，，，

令，解得，令，解得，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，，

令，解得或，令，解得，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在，上單調(diào)遞增；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，，

令，

在區(qū)間上恒為正，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)）時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，

即，對(duì)任意正整數(shù)，取，有，

∴

．