Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值；
（3）求點B到平面MAC的距離．

Answer 1

分析：方法1：（1）通過證明PC⊥平面ABC，然后證明PC⊥AC．
（2）取BC的中點N，連MN，證明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連接MH，說明∠MHN為二面角M-AC-B的平面角．利用cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．求出二面角M-AC-B的余弦值．
（3）先證明NE⊥平面MAC，通過解三角形求出點N到平面MAC的距離，利用點N是線段BC的中點，推出點B到平面MAC的距離是點N到平面MAC的距離的兩倍．
方法2：（1）同方法一；
（2）在平面ABC內(nèi)，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．
設(shè)P（0，0，z），求出有關(guān)點的坐標，利用

n • AM =0 n • CA =0

，求出設(shè)平面MAC的一個法向量為

n

，求出平面ABC的一個法向量為

CP

=(0，0，1)．利用cos＜

n

，

CP

＞=

n • CP

| n |• |CP|

．得到二面角M-AC-B的余弦值．
（3）利用點B到平面MAC的距離d=|

CB • n

| n |

|．

解答：解：方法1：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）
（2）取BC的中點N，連MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連接MH．
由三垂線定理得AC⊥MH，∴∠MHN為二面角M-AC-B的平面角．
∵直線AM與直線PC所成的角為60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，AN=

AC2+CN2-2AC•CN•cos120°

=

3

．
在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

3

cot60°=1．
在Rt△NCH中，NH=CN•sin∠NCH=1×sin60°=

3

2

．
在Rt△MNH中，∵MH=

MN2+NH2

=

7

2

，∴cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．
故二面角M-AC-B的余弦值為

21

7

．（8分）
（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，
∴點N到平面MAC的距離為NE=

MN•NH

MH

=

21

7

．
∵點N是線段BC的中點，
∴點B到平面MAC的距離是點N到平面MAC的距離的兩倍為

2 21

7

．（12分）
方法2：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）

（2）在平面ABC內(nèi)，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．
設(shè)P（0，0，z），則

CP

=(0，0，z)．

AM

=(0，1，z)-(

3

2

，-

1

2

，0)=(-

3

2

，

3

2

，z)．
∵cos60°=|cos＜

AM

，

CP

＞|=|

AM • CP

| AM |•| CP |

|=

z2

3+z2 •|z|

，
且z＞0，∴

z

z2+3

=

1

2

，得z=1，∴

AM

=(-

3

2

，

3

2

，1)．
設(shè)平面MAC的一個法向量為

n

=（x，y，1），則由

n • AM =0 n • CA =0

得

- 3 2 x+ 3 2 y+1=0 3 2 x- 1 2 y=0

得

x=- 3 3 y=-1

∴

n

=(-

3

3

，-1，1)．
平面ABC的一個法向量為

CP

=(0，0，1)．cos＜

n

，

CP

＞=

n • CP

| n |• |CP|

=

21

7

．
顯然，二面角M-AC-B為銳二面角，∴二面角M-AC-B的余弦值為

21

7

．（8分）
（3）點B到平面MAC的距離d=|

CB • n

| n |

|=

2 21

7

．（12分）

點評：本題考查直線與平面的垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的求法，點到平面的距離的求法，幾何法與向量法的區(qū)別與聯(lián)系，考查空間想象能力與計算能力．