Question

【題目】已知函數(shù)（a＜0）．

（Ⅰ）當(dāng)a＝－3時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為（－3，－2）和（0，＋∞）;(2) a＜0.

【解析】試題分析：(1)解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到所求的單調(diào)減區(qū)間；（2）函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)圖象與x軸有唯一的公共點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖象走勢(shì)即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵a＝－3，∴，故

令f′（x）＜0，解得－3＜x＜－2或x＞0，

即所求的單調(diào)遞減區(qū)間為（－3，－2）和（0，＋∞）

（Ⅱ）∵（x＞a）

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a＋1

（1）當(dāng)a＋1＞0，即－1＜a＜0時(shí)，f（x）在（a，0）和（a＋1，＋∞）上為減函數(shù)，在（0，a＋1）上為增函數(shù)．

由于f（0）＝aln（－a）＞0，當(dāng)x→a時(shí)，f（x）→＋∞．

當(dāng)x→＋∞時(shí)，f（x）→－∞，于是可得函數(shù)f（x）圖像的草圖如圖，

此時(shí)函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

即當(dāng)－1＜a＜0對(duì)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）當(dāng)a＝－1時(shí)，，

∵，∴f（x）在（a，＋∞）單調(diào)遞減，

又當(dāng)x→－1時(shí)，f（x）→＋∞．當(dāng)x→＋∞時(shí)，f（x）→－∞，

故函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）當(dāng)a＋1＜0即a＜－1時(shí)，f（x）在（a，a＋1）和（0，＋∞）上為減函數(shù)，在（a＋1，0）上為增函數(shù)．又f（0）＝aln（－a）＜0，當(dāng)x→a時(shí)，f（x）→＋∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f（x）→－∞，于是可得函數(shù)f（x）圖像的草圖如圖，此時(shí)函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，所求的范圍是a＜0．