Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax+1（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，且函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x²+nx+mf′（x）（m，n∈R）當(dāng)且僅當(dāng)在x=1處取得極值，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{a（1-x）}{x}$（x＞0），當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，則f′（2）=1，即a=-2；由g（x）在x=1處有極值，故g′（1）=0，從而可得n=-1-2m，討論m的范圍得出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a（1-x）}{x}$（x＞0），
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
則f′（2）=1，即a=-2；                     
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²+nx+m（2-$\frac{2}{x}$），
∴g′（x）=x+n+$\frac{2m}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}+n{x}^{2}+2m}{{x}^{2}}$，
∵g（x）在x=1處有極值，
故g′（1）=0，
從而可得n=-1-2m，
則g′（x）=$\frac{{x}^{3}+n{x}^{2}+2m}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（{x}^{2}-2mx-2m）}{{x}^{2}}$，
又∵g（x）僅在x=1處有極值，
∴x²-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)m＞0時(shí)，由-2m＜0，
即?x₀∈（0，+∞），
使得x₀²-2mx₀-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）時(shí)，x²-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0．
即有m的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解不等式，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題，屬于中檔題．