Question

【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切并且與圓外切，圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）已知曲線與軸交于兩點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線與交于 (不垂直軸)，過(guò)作直線交于點(diǎn)且交軸于點(diǎn)，若構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，證明：直線， 的斜率之積為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）圓與圓外切且與圓內(nèi)切，所以，橢圓的定義可知，曲線是以， 為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(右頂點(diǎn)除外)，進(jìn)而得橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為， ， ，與橢圓聯(lián)立得，若構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，得，結(jié)合韋達(dá)定理得，由即可得解.

試題解析：

（Ⅰ）由已知得圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.

設(shè)圓的圓心為，半徑為.

因?yàn)閳A與圓外切且與圓內(nèi)切，

所以，

由橢圓的定義可知，曲線是以， 為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(右頂點(diǎn)除外)，

其方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為， ， ，

聯(lián)立方程組消去，得，

由根與系數(shù)關(guān)系，得

若構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，

即.

設(shè)，則，即，

,

化簡(jiǎn)得，

所以為定值.