Question

22.（1）求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的方程是. 設(shè)斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為. 證明：當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在一條過原點(diǎn)的定直線上；

（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡(jiǎn)要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

Answer 1

22. [解]（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，

    ∴ ，即橢圓的方程為，

    ∵ 點(diǎn)（）在橢圓上，∴ ，

    解得 或（舍），

    由此得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                   

   （2）設(shè)直線的方程為，                                

    與橢圓的交點(diǎn)()、()，

則有，

    解得 ，

    ∵ ，∴ ，即 .

則 ，

    ∴ 中點(diǎn)的坐標(biāo)為.               

    ∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上.          

    （3）如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于、和，并分別取、的中點(diǎn)，連接直線；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于、和，并分別取、的中點(diǎn)，連接直線，那么直線和的交點(diǎn)即為橢圓中心.