Question

（本題12分）已知橢圓的離心率，短軸長為。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線：交橢圓于兩點，向量，滿足.證明：的面積為定值。 （為坐標原點）

Answer 1

已知橢圓的離心率，短軸長為。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線：交橢圓于兩點，向量，滿足.證明：的面積為定值。 （為坐標原點）

 解：（1）由題意知，2b=2,b=1,,

則。橢圓的標準方程為。

（2）由消去，得，

則  ①

∵向量，滿足，

∴

∴

∴  

把①代入②整理得：。

∵點到直線AB的距離為

∴===

所以的面積為定值。