Question

已知函數(shù)f（x）=

x-a

x-2a

（a∈R）
（1）若a=0，解不等式|f（x）|＞1；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥-1．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為|x-2|＜2，x≠2，由此求得它的解集．
（2）不等式等價轉(zhuǎn)化為

(a+1)x-4

x-2

≥0，即[（a+1）x-4]（x-2）≥0且x≠2，分類討論求得它的解集．

解答： 解：（1）|f（x）|＞1?|

-2

x-2

|＞1?

2

|x-2|

＞1?|x-2|＜2，x≠2?-2＜x-2＜2，x≠2，
故解得原不等式的解集為（0，2）∪（2，4）．
（2）原式?

ax-2

x-2

+1≥0?

ax-2+x-2

x-2

≥0?

(a+1)x-4

x-2

≥0?[（a+1）x-4]（x-2）≥0且x≠2，
當(dāng)a+1＜0，即a＜-1時，原不等式?(x-

4

a+1

)(x-2)≤0且x≠2，解得

4

a+1

≤x＜2．
當(dāng)a+1=0，即a=-1時，原不等式?x-2＜0⇒x＜2．
當(dāng)a+1＞0，即a＞-1時，原不等式?(x-

4

a+1

)(x-2)≥0且x≠2，
?當(dāng)-1＜a＜1時，2＜

4

a+1

，解出x＜2或x≥

4

a+1

；
?當(dāng)a=1時，?（x-2）²≥0且x≠2⇒x≠2；
?當(dāng)a＞1時，2＞

4

a+1

，解出x＞2或x≤

4

a+1

．
綜上：當(dāng)a＜-1時，原不等式的解集為{x|

4

a+1

≤x＜2}；
當(dāng)a=-1時，原不等式的解集為{x|x＜2}；
當(dāng)-1＜a＜1時，原不等式的解集為{x|x≥

4

a+1

或x＜2}；
當(dāng)a=1時，原不等式的解集為{x|x≠2}；
當(dāng)a＞1時，原不等式的解集為{x|x≤

4

a+1

或x＞2}；

點(diǎn)評：本題主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．