Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，過橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交直線于兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線恒過定點(diǎn)．

【解析】

（Ⅰ）先得出a＝2，再由離心率計(jì)算出c的值，再由a、b、c的關(guān)系求出b的值，即可得出橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l1的方程為y＝k（x﹣1），可得出直線l2的方程為，將這兩條直線分別于直線l的方程聯(lián)立，可得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后寫出直線AM的方程，將直線AM的方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再寫出直線PN的方程，通過直線PN的方程找出直線 PN所過的定點(diǎn)．

解：（Ⅰ）由題意，

離心率，所以.

所以，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意，設(shè)，．

令，得，，

又，所以直線的方程為．

由，消元，得，

即，

設(shè)，則，所以．

所以，

又，

所以直線的斜率為

，

所以直線的方程為，

即，

直線恒過定點(diǎn)．