Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，知f′(x)=

ax2-2ax(x-1)

x4

=

2a-ax

x3

，由a＞0，知當f′(x)=

2a-ax

x3

＞0時，

2a-ax＞0 x3＞0

，或

2a-ax＜0 x3＜0

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；當f′(x)=

2a-ax

x3

＜0時，

2a-ax＜0 x3＞0

，或

2a-ax＞0 x3＜0

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）由g（x）=xlnx-a（x-1），知g'（x）=lnx+1-a，當0＜a≤1時，g'（x）≥0，g（x）是增函數(shù)，最大值是g（e）=e-a（e-1）；當a≥2時，g'（x）≤0，g（x）是減函數(shù)，最大值是g（1）=0；當1＜a＜2時，g（x）先減后增，最大值是g（1）或g（e）．由此能求出g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，
∴f′(x)=

ax2-2ax(x-1)

x4

=

2a-ax

x3

，
∵a＞0，
∴由f′(x)=

2a-ax

x3

＞0，
得

2a-ax＞0 x3＞0

，或

2a-ax＜0 x3＜0

，
∴0＜x＜2，或無解，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）．
由f′(x)=

2a-ax

x3

＜0，
得

2a-ax＜0 x3＞0

，或

2a-ax＞0 x3＜0

，
∴x＞2或x＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
（Ⅱ）∵f(x)=

a(x-1)

x2

，g（x）=xlnx-x²f（x），，
∴g（x）=xlnx-a（x-1），
∴g'（x）=lnx+1-a，
當0＜a≤1時，g'（x）≥0，g（x）是增函數(shù)，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
當a≥2時，g'（x）≤0，g（x）是減函數(shù)，最大值是g（1）=0；
當1＜a＜2時，g（x）先減后增，最大值是g（1）或g（e）．
設g（1）＞g（e），即 e-a（e-1）＜0，即 a＞

e

e-1

，
所以若

e

e-1

＜a＜2 時，最大值是g（1），
若1＜a＜

e

e-1

，最大值是g（e）．
綜上，0＜a＜

e

e-1

時，最大值是g（e）=e-a（e-1）；

e

e-1

＜a＜2 時，最大值是g（1）=0．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法和求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真解答，注意導數(shù)性質的靈活運用．易錯點是分類不清，導致出錯．