Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）（a∈R），f（x）的兩個極值點為A（α，f（α）），B（β，f（β）），線段AB的中點為M．
（1）如果函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）圖象的對稱中心；
（2）如果M點在第四象限，求實數(shù)a的范圍；
（3）證明：點M也在函數(shù)f（x）的圖象上，且M為函數(shù)f（x）圖象的對稱中心．

Answer 1

【答案】分析：（1）【法一】取特殊值，求得a=-1，再驗證f（x）為奇函數(shù)；
【法二】利用奇函數(shù)的定義，可求a的值；當(dāng)a=2時，利用圖象的變換，可得數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）圖象的對稱中心；
（2）求導(dǎo)數(shù)，可得α，β為3x²-2（1+a）x+a=0兩實根，再利用韋達(dá)定理確定M的坐標(biāo)，利用M點在第四象限，建立不等式組，即可求實數(shù)a的范圍；
（3）證明點M也在函數(shù)f（x）的圖象上．【法一】設(shè)P（x，y）為函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，證明P（x，y）關(guān)于M的對稱點在函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）的圖象上；
【法二】利用圖象的變換證明結(jié)論即可．
解答：（1）解：【法一】因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1），得：-1•（-1-1）（-1-a）=0，∴a=-1．
當(dāng)a=-1時，f（x）=x（x-1）（x+1）=x（x²-1），有f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)．…（4分）
【法二】f（x）=x³-（1+a）x²+ax，f（-x）=-f（x）恒成立，（-x）³-（1+a）x²-ax=-x³+（1+a）x²-ax，求得a=-1．
當(dāng)a=2時，f（x）=x（x-1）（x-2），該圖象可由奇函數(shù)f（x）=（x+1）x（x-1）的圖象向右平移一個單位得到，可知函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）圖象的對稱中心為（1，0）．…（4分）
（2）解：∵f′（x）=3x²-2（1+a）x+a，
令f′（x）=3x²-2（1+a）x+a=0，則α，β為3x²-2（1+a）x+a=0兩實根．
∴，.=
=
=，
∵點在第四象限，∴
∴a＞2或．…（10分）
（3）證明：由（2）得點，
又=，
所以點M也在函數(shù)f（x）的圖象上．…（12分）
【法一】設(shè)P（x，y）為函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，P（x，y）關(guān)于M的對稱點為
而
=．
即在函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）的圖象上．
所以，M為函數(shù)f（x）的對稱中心．…（16分）
【法二】設(shè)====．
∴為奇函數(shù)，
對稱中心為O（0，0）．
把函數(shù)的圖象按向量平移后得f（x）的圖象，
∴為函數(shù)f（x）的對稱中心．…（16分）
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與對稱性，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，有一定的難度．