Question

四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上，A，C關于軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。

（Ⅰ）證明：AC平分；

（Ⅱ）若點A坐標為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）y＝2x

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意設出A、B、C、D四點的坐標，注意到AC的斜率為0，只需證AB、AD的斜率之和為0即可；（Ⅱ）四邊形ABCD可以AC為底分成兩個三角形求出面積，解出得到的方程即可.

試題解析：（Ⅰ）設A(x₀，)，B(x₁，)，C(－x₀，)，D(x₂，)．

對y＝x²求導，得y¢＝2x，則拋物線在點C處的切線斜率為－2x₀．

直線BD的斜率k＝＝x₁＋x₂，

依題意，有x₁＋x₂＝－2x₀．   

記直線AB，AD的斜率分別為k₁，k₂，與BD的斜率求法同理，得

k₁＋k₂＝(x₀＋x₁)＋(x₀＋x₂)＝2x₀＋(x₁＋x₂)＝0，

所以∠CAB＝∠CAD，即AC平分∠BAD．      

（Ⅱ）由題設，x₀＝－1，x₁＋x₂＝2，k＝2．四邊形ABCD的面積

S＝|AC|·＝|AC|·|x₂＋x₁|·|x₂－x₁|

＝×2×2×|2－2x₁|＝4|1－x₁|，

由已知，4|1－x₁|＝4，得x₁＝0，或x₁＝2．

所以點B和D的坐標為(0，0)和(2，4)，

故直線BD的方程為y＝2x．

考點：1、拋物線及切線；2、直線的斜率及應用.