Question

已知函數(shù)的周期為，圖像的一個(gè)對稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），在將所得圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定的個(gè)數(shù)；     若不存在，說明理由．

（3）求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．三角恒等變換．三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．函數(shù)．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．函數(shù)的零點(diǎn)．不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想．化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分14分．

解：（Ⅰ）由函數(shù)的周期為，，得

又曲線的一個(gè)對稱中心為，

故，得，所以

將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

所以

問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解

設(shè)，

則

因?yàn)?sub>，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增

又，

且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，

即存在唯一的滿足題意

（Ⅲ）依題意，，令

當(dāng)，即時(shí)，，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程，

現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況

令，

則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況

，令，得或

當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)

由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)，使得直線與曲線在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，由周期性，，所以

綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)