Question

如圖，為圓的直徑，為垂直于的一條弦，垂足為，弦與交于點(diǎn).

（Ⅰ）證明：四點(diǎn)共圓；

（Ⅱ）證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：本題考查四點(diǎn)共圓的判定和圓割線(xiàn)的性質(zhì).考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)是證明四點(diǎn)共圓，證明四點(diǎn)共圓的基本方法：1.從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．2.若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．3.把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．4.把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線(xiàn)段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線(xiàn)段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線(xiàn)段，若能證明自交點(diǎn)至一線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積等于自交點(diǎn)至另一線(xiàn)段兩端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（割線(xiàn)定理的逆定理）5.證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線(xiàn)有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．第二問(wèn)是等式的證明，這一問(wèn)中遇到的圓割線(xiàn)的性質(zhì)（從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等）、相似三角形、勾股定理三式聯(lián)立，證明等式成立.

試題解析：（Ⅰ）連結(jié)，則．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103123195729582966/SYS201310312320585360701193_DA.files/image003.png">，所以．      

所以，即四點(diǎn)共圓．                                  5分

 

（Ⅱ）連結(jié)．由四點(diǎn)共圓，所以．在中，，，所以．            10分

考點(diǎn)：1.四點(diǎn)共圓的判斷；2.圓割線(xiàn)的性質(zhì).