Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），P為橢圓上與長軸端點不重合的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點，過F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為Q，若|OQ|=2b，橢圓的離心率為e，則$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用轉(zhuǎn)化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，進(jìn)一步得到a，e與b的關(guān)系，然后利用基本不等式求得$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$的最小值．

解答 解：如圖，
由題意，P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓上一點，過焦點F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為Q，延長F₂Q交F₁P延長線于M，得PM=PF₂，
由橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PM=MF₁=2a，
連接OQ，知OQ是三角形F₁F₂M的中位線，
∴OQ=a，又OQ=2b，
∴a=2b，則a²=4b²=4（a²-c²），即${c}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}{2b}$=$\frac{{a}^{4}+{c}^{2}}{2{a}^{2}b}=\frac{16^{4}+\frac{3}{4}•4^{2}}{8^{3}}$=$2b+\frac{3}{8b}≥2\sqrt{2b•\frac{3}{8b}}=\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$2b=\frac{3}{8b}$，即$^{2}=\frac{3}{16}$，即$b=\frac{\sqrt{3}}{4}$時，$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$有最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．