Question

【題目】設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

利用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算表示出點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓的方程即可求解;

由知,結(jié)合求出橢圓的方程，分兩種情況線段在軸上和線段不在軸上求解點(diǎn)，當(dāng)線段不在軸上, 設(shè)直線的方程為，，，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,消去參數(shù)即可.

（1） 設(shè)（），，，

所以，得

，即，

又∵（）在橢圓上，

∴，得，即橢圓的離心率為.

（2） 由（1）知，.又∵，，

解得，，∴橢圓的方程為.

當(dāng)線段在軸上時(shí)，線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）.

當(dāng)線段不在軸上時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

將直線的方程為代入橢圓方程中，得.

∵點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴，，則，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，，消去得，（）.

綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.