Question

【題目】設(shè)函數(shù)(a，bR).

（1）當(dāng)b＝﹣1時，函數(shù)有兩個極值，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)a＋b＝1時，函數(shù)的最小值為2，求a的值；

（3）對任意給定的正實數(shù)a，b，證明：存在實數(shù)，當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）(，0)（2）或（3）證明見解析；

【解析】

（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)，則，解出即可；

（2）當(dāng)時，，求導(dǎo)后，分類討論得函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可求出答案；

（3）對任意給定的正實數(shù)a，b，有，設(shè)，設(shè)，x＞0，求導(dǎo)后易求得，又由，得，由此可得出答案．

解：（1）當(dāng)時，，

∴，

若函數(shù)有兩個極值，則，解得，

故a的取值范圍是(，0)；

（2）當(dāng)時，，

∴，

當(dāng)a≤0時，，∴是(0，)上的減函數(shù)，

∴函數(shù)無最小值，舍去；

當(dāng)a＞0時，由得，，

∴在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)的最小值為，

由，得，

解得或；

（3）對任意給定的正實數(shù)a，b，有，

設(shè)，

設(shè)，x＞0，則，z

易知當(dāng)x＝4時，，故，

又由，得，

對于任意給定的正實數(shù)a，b，取為與4中的較大者，

則當(dāng)時，恒有，即當(dāng)時，．