Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，
PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求證：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD與面PAB所成銳二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一點(diǎn)E，使得DE平面PAB？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：由題意，∵BCAD，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA，
又PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：延長BA、CD交于Q點(diǎn)，過A作AH⊥PQ，垂足為H，連DH
由（1）及ADBC知：AD⊥平面PAQ
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ
所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
所以∠AHD是面PCD與面PBA所成的二面角的平面角
∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1
∴，
∴
∴
所以面PCD與面PAB所成二面角的正切值為
（3）解：存在．在BC上取一點(diǎn)F，使BF=1，則DFAB．
由條件知，PC=3，在PC上取點(diǎn)E，使PE=，則EFPB，
所以，平面EFD平面PAB，
因?yàn)镈E平面EFD，
所以DE平面PAB