Question

（本小題滿分12分）
如圖，平面平面ABCD，
ABCD為正方形，是直角三角形，
且，E、F、G分別是
線段PA，PD，CD的中點.
（1）求證：∥面EFC；
（2）求異面直線EG與BD所成的角；
（3）在線段CD上是否存在一點Q，
使得點A到面EFQ的距離為0.8. 若存在，
求出CQ的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（2）（3）點A到面EFQ的距離為0.8

解法一：（1）證明：取AB中點H，連結GH，HE，
∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點，∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四點共面.
又H為AB中點，∴EH∥PB.又面EFG，PB面EFG，∴PB∥面EFG.
（2）取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM∥BD，
∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD
所成的角.在Rt△MAE中，，
同理，又，
∴在MGE中，，
故異面直線EG與BD所成的角為.
（3）假設在線段CD上存在一點Q滿足
題設條件. 過點Q作QR⊥AB于R，連結RE，
則QR∥AD.∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，
且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又∵ABPA=A，∴AD⊥面PAB.
又∵E，F分別是PA，PD中點，∴EF∥AD，∴EF⊥面PAB.
又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.
過A作AT⊥ER于T，則AT⊥面EFQ，
∴AT就是點A到面EFQ的距離.
設，則BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，
在Rt△EAR中，.
故存在點Q，當時，點A到面EFQ的距離為0.8.
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz，
則,
,
.
（1）∵，，
設，即，
解得.∴，又∵不共線，
∴共面. ∵PB面EFG，∴PB∥面EFG.
（2）∵，
∴.故異面直線EG與BD所成的角為
（3）假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件，令，則DQ=2-m，
∴點Q的坐標為，∴. 而，設平面EFQ的法向量為n=(x，y，z)，則，
∴. 令x=1，則.
又，∴點A到面EFQ的距離，
即，∴.
故存在點Q，當時，點A到面EFQ的距離為0.8.