Question

9．設(shè)P為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，PF₂⊥F₁F₂，x軸上有一點(diǎn)A且AP⊥PF₁，E是AP的中點(diǎn)，線段EF₁與PF₂交于點(diǎn)M．若|PM|=2|MF₂|，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． 1$+\sqrt{2}$
• B． 2$+\sqrt{2}$
• C． 3$+\sqrt{2}$
• D． 4$+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A的橫坐標(biāo)，利用E是AP的中點(diǎn)，線段EF₁與PF₂交于點(diǎn)M，|PM|=2|MF₂|，得出3c=$\frac{^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}}{2{a}^{2}c}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，P（c，$\frac{^{2}}{a}$），∴${k}_{{F}_{1}P}$=$\frac{^{2}}{2ac}$，
∴直線PA的方程為y-$\frac{^{2}}{a}$=-$\frac{2ac}{^{2}}$（x-c），
令y=0，可得x=$\frac{^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}}{2{a}^{2}c}$，
∵E是AP的中點(diǎn)，線段EF₁與PF₂交于點(diǎn)M，|PM|=2|MF₂|，
∴3c=$\frac{^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}}{2{a}^{2}c}$，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查中等坐標(biāo)的運(yùn)用，屬于中檔題．