Question

若當a∈（0，1）時，由x、y滿足的關系式log_ax+3log_xa-log_xy=3確定的函數y=f（x）的最大值為

2

4

，求a的值及y最大時相應的x的值．

Answer 1

分析：把原方程轉化為log_ax+

3

logax

-

logay

logax

=3，即log_ay=log_a²x-3log_ax+3=（log_ax-

3

2

）²+

3

4

，然后利用二次函數的性質求如果y有最大值

2

4

時a和x的值．

解答：解：由所給關系式變形為：logay=(logax-

3

2

)2+

3

4

…（3分）
∵y=f（x）有最大值

2

4

，且0＜a＜1，∴l(xiāng)og_ay有最小值loga

2

4

…（6分）
當logax=

3

2

時，loga

2

4

=

3

4

…（8分）
∴a=

1

4

…（10分）
此時log

1

4

x=

3

2

∴x=

1

8

即a=

1

4

，x=

1

8

為所求…（12分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、對數函數的值域與最值、對數方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．