Question

設f（x）=x³+ax²+bx+1的導數(shù)f′（x）滿足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常數(shù)a，b∈R．
（1）求a，b的值．
（2）設g（x）=

f′(x)

ex

，求函數(shù)g（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導函數(shù)的公式，易求出導數(shù)f′（x），結(jié)合f′（1）=2a，f′（2）=-b，能求出a，b的值．
（2）根據(jù)g（x）=f′（x）e^-1求出函數(shù)g（x）的解析式，然后求出g（x）的導數(shù)g′（x）的解析式，求出導函數(shù)零點后，利用零點分段法，分類討論后，即可得到函數(shù)g（x）的極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
令x=1，得f′（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f′（2）=12+4a+b=-b，
因此12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

．
（2）由（1）知g（x）=（3x²-3x-3）e^-x
從而有g(shù)′（x）=（-3x²+9x）e^-x
令g′（x）=0，則x=0或x=3
∵當x∈（-∞，0）時，g′（x）＜0，
當x∈（0，3）時，g′（x）＞0，
當x∈（3，+∞）時，g′（x）＜0，
∴g（x）=（3x²-3x-3）e^-x在x=0時取極小值g（0）=-3，
在x=3時取極大值g（3）=15e^-3．

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．