Question

（本題滿(mǎn)分12分）

 如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052300575423438525/SYS201205230059155625678033_DA.files/image007.png">平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052300575423438525/SYS201205230059155625678033_DA.files/image010.png">，為中點(diǎn)，∴.              ……………3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052300575423438525/SYS201205230059155625678033_DA.files/image015.png">,

所以平面.       ……………4分

(Ⅱ)解： 因?yàn)閭?cè)面，均為正方形， ，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則.

，                             ………………9分

設(shè)平面的法向量為，則有

，， ，

取，得.                                  ………………10分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052300575423438525/SYS201205230059155625678033_DA.files/image031.png">平面，所以平面的法向量為，………11分因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052300575423438525/SYS201205230059155625678033_DA.files/image034.png">是鈍角，

所以，二面角的余弦值為.                 ………………12分

 

【解析】略