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已知直線x=2與橢圓C：
x2
16
+
y2
4
=1交于兩點E1，E2，任取橢圓C上的點P，若
OP
=a
OE1
+b
OE2
（a，b∈R），則ab的最大值是
 
．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：由題意聯(lián)立方程可求出E1（2，
3
），E2（2，-
3
），再由
OP
=a
OE1
+b
OE2
（a，b∈R）寫出點P的坐標，代入橢圓化簡可得a2+b2-ab=1，從而求ab的最大值．
解答： 解：聯(lián)立x=2與
x2
16
+
y2
4
=1，
解得E1（2，
3
），E2（2，-
3
），
∴
OP
=a
OE1
+b
OE2
=（2a+2b，
3
a-
3
b），
∴P（2a+2b，
3
a-
3
b），
∵點P在橢圓C上，
∴
(2a+2b)2
16
+
(
3
a-
3
b)2
4
=1，
∴a2+b2-ab=1，
∴a2+b2=ab+1≥2ab，
∴ab≤1，
即ab的最大值是1．
故答案為：1．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線聯(lián)立求值及不等式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，銳角α、β的終邊分別與單位圓交于A、B兩點．如果sinα=
3
5
，B的橫坐標為
5
13
，則cos（α+β）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合M=（-∞，m]，P={y|y=x2-1，x∈R}，若M∩P=∅，則實數(shù)m的取值范圍是  （　�。�
A、m≥-1B、m＞-1
C、m≤-1D、m＜-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx+k
ex
（其中k∈R），f′（x）為f（x）的導數(shù)．
（1）求證：不論k取何值，曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線不過點（e+1，0）；
（2）若f′（1）=0，證明：對任意x＞0，f′（x）＜
e-x+1
x2+x
恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x、y為非零的實數(shù)，求
x2+4xy
x2+2y2
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把矩形ABCD沿對角線BD折成二面角A-BD-C，若AB=1，AD=
3
，AC=
7
2
，則二面角A-BD-C的大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=kx-1（k∈R）和拋物線y2=4x．
（1）若直線l與拋物線有兩個不同的公共點，求k的取值范圍；
（2）當k=1時，直線l與拋物線相交于A、B兩點，求|AB|的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx（x∈R）．
（1）當x∈[0，
π
2
]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
m
=（1，sinA），
n
=（2，sinB），若
m
∥
n
，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

△ABC的三個頂點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若G是△ABC的重心，則G點坐標為
 
，
GA
+
GB
+
GC
=
 
．

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