Question

9．要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規(guī)格，每張鋼板可同時截得A、B兩種規(guī)格的小鋼板的塊數如表所示：
已知庫房中現有甲乙兩種鋼板的數量分別為5張和10張，市場急需A、B兩種規(guī)格的成品數分別為15塊和27塊．

規(guī)格類型 鋼板類型	A	B
甲	2	1
乙	1	3

（1）問各截兩種鋼板多少張可得到所需的成品數，且使所用的兩種鋼板的總張數最少？
（2）有5個同學對線性規(guī)劃知識了解不多，但是畫出了可行域，他們每個人都在可行域的整點中隨意取出一解，求恰好有2個人取到最優(yōu)解的概率．

Answer 1

分析 （1）設甲種鋼板需要x張，乙種鋼板需要y張；共需要z張，從而可得約束條件及目標函數，結合圖象得到兩種鋼板的張數即可；
（2）

解答 解：設甲種鋼板需要x張，乙種鋼板需要y張；共需要z張；
則由題意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{x≤5}\\{y≤10}\\{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$；
z=x+y；
作出其平面區(qū)域可得，

結合圖象可得，滿足條件的x，y值有：
（3，9），（3，10），（4，10），（4，8），（4，9），（5，10），（5，9），（5，8）．
故z的最小值為3+9=4+8=12；
故各截兩種鋼板3張，9張或4張，8張時可得到所需的成品數，且使所用的兩種鋼板的總張數最少．
（2）因為可行域內的整點個數為8個，而最優(yōu)解有兩個，所以每個人取到最優(yōu)解的概率為$\frac{1}{4}$，
所以5個人中有2個人取到最優(yōu)解的概率為${C}_{5}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{3}=\frac{135}{512}$．
所以5人中恰好有2個人取到最優(yōu)解的概率為$\frac{135}{512}$．

點評 本題考查了線性規(guī)劃在實際問題中的應用以及概率問題，屬于中檔題